【什么是等比数列】等比数列是数学中一种重要的数列形式，它在数列、级数以及实际问题中都有广泛应用。理解等比数列的定义、性质及其应用，有助于更好地掌握数学规律和解决相关问题。
一、等比数列的定义
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等的数列。这个固定的比值称为“公比”，通常用字母 q 表示。
例如：
数列 2, 6, 18, 54, 162 是一个等比数列，其公比为 3（即每一项都是前一项的 3 倍）。
二、等比数列的通项公式
等比数列的第 n 项可以表示为：
$$
a_n = a_1 \times q^{(n-1)}
$$
其中：
- $ a_n $：第 n 项
- $ a_1 $：首项
- $ q $：公比
- $ n $：项数
三、等比数列的性质
| 属性 | 内容 |
| 公比 | 每一项与前一项的比值，记作 q，且 q ≠ 0 |
| 首项 | 数列的第一项，记作 a₁ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \times q^{(n-1)} $ |
| 前 n 项和 | 当 q ≠ 1 时，$ S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} $ |
| 特殊情况 | 若 q = 1，则所有项都相等，此时数列为常数列 |
四、等比数列的应用
等比数列在现实生活中有广泛的应用，例如：
- 银行利息计算：复利计算就是典型的等比数列。
- 人口增长模型：某些情况下，人口增长率可近似为等比数列。
- 病毒传播模型：在初始阶段，病毒传播可能呈现等比增长趋势。
- 几何问题：如分形结构、无限分割等问题中也会出现等比数列。
五、等比数列与等差数列的区别
| 特征 | 等差数列 | 等比数列 |
| 相邻项关系 | 差值固定 | 比值固定 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n-1)d $ | $ a_n = a_1 \times q^{(n-1)} $ |
| 前 n 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} $ （q ≠ 1） |
| 公比/公差 | 公差 d | 公比 q |
六、总结
等比数列是一种具有固定比值的数列，其核心特征是每一项与前一项的比值恒定。通过掌握其通项公式和求和方法，可以有效解决许多实际问题。同时，了解其与等差数列的区别也有助于更深入地理解数列的数学本质。
