【arctanx的导数是怎么求出来的】在微积分中，反三角函数的导数是学习的重要内容之一。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个常见问题。本文将从基本原理出发，详细讲解arctanx导数的推导过程，并以加表格的形式展示结果。
一、推导思路
arctanx 是 tanx 的反函数，也就是说，如果 y = arctanx，则 x = tany。利用反函数的导数公式，我们可以直接求出 arctanx 的导数。
根据反函数的导数法则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}
$$
因为 x = tany，所以：
$$
\frac{dx}{dy} = \sec^2y
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2y}
$$
又因为 $ \sec^2y = 1 + \tan^2y $，而 $ \tan y = x $，所以：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
这就是 arctanx 的导数。
二、
arctanx 的导数可以通过反函数求导法进行推导。设 y = arctanx，则 x = tany。对两边关于 y 求导得到 dx/dy = sec²y，从而 dy/dx = 1 / sec²y。利用三角恒等式 sec²y = 1 + tan²y，代入 x = tan y 得到最终结果：dy/dx = 1 / (1 + x²)。
三、表格展示
| 函数表达式 | 导数表达式 | 推导方法 |
| y = arctanx | dy/dx = 1/(1 + x²) | 反函数求导法 |
| x = tany | dx/dy = sec²y | 基本三角函数导数 |
| 代入关系 | sec²y = 1 + tan²y | 三角恒等式 |
| 最终结果 | dy/dx = 1/(1 + x²) | 替换变量后得出 |
通过以上推导和表格总结，我们清晰地看到了 arctanx 的导数是如何得来的。这个过程不仅体现了反函数的性质，也展示了三角函数与导数之间的紧密联系。
