softmax分类器+cross entropy损失函数的求导 📈📊

在深度学习中，softmax分类器和交叉熵（cross entropy）损失函数是常用的组合之一，尤其适用于多分类问题。softmax函数将神经网络输出转换为概率分布，而交叉熵则用于衡量预测值与真实值之间的差异。

首先，softmax函数的核心公式为 \( S(y_i) = \frac{e^{y_i}}{\sum e^{y_j}} \)，其中 \( y_i \) 是输入向量中的第 \( i \) 个元素。为了优化模型参数，我们需要计算梯度。对 \( S(y_i) \) 关于 \( y_k \) 求导时，会得到一个简洁的结果：当 \( k=i \) 时，导数为 \( S(y_i)(1-S(y_i)) \)；当 \( k \neq i \) 时，导数为 \( -S(y_i)S(y_k) \)。

接着，交叉熵损失函数定义为 \( L = -\sum t_i \log(p_i) \)，其中 \( t_i \) 是目标标签对应的值（通常是0或1），\( p_i \) 是softmax输出的概率值。通过链式法则，可以推导出损失函数关于 \( y_k \) 的梯度为 \( p_k - t_k \)。这一结果表明，梯度直接反映了预测值与实际值的偏差。

总之，理解这些数学推导有助于更高效地训练模型，提升分类性能。💪✨